444. Не выполняя построения: а) определите, пересекает ли парабола у = х²- 8х + 16 прямую 2х-3у = 0 и если да, то в каких точках; б) найдите, B каких точках пересекаются окружность (x-5)² + (y -4)² = 65 и прямая 3х-y+6=0.

а) Определим, пересекает ли парабола $$y = x^2 - 8x + 16$$ прямую $$2x - 3y = 0$$. Выразим из второго уравнения y:

$$3y = 2x$$ $$y = \frac{2}{3}x$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$\frac{2}{3}x = x^2 - 8x + 16$$

Умножим обе части уравнения на 3:

$$2x = 3x^2 - 24x + 48$$

Перенесем все в правую часть:

$$3x^2 - 26x + 48 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-26)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 48 = 676 - 576 = 100$$

Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных решения. Следовательно, парабола пересекает прямую в двух точках. Найдем эти точки:

$$x_1 = \frac{26 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{26 + 10}{6} = \frac{36}{6} = 6$$ $$x_2 = \frac{26 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{26 - 10}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$$

Найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$$ $$y_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{9}$$

Таким образом, парабола пересекает прямую в точках (6, 4) и (8/3, 16/9).

б) Найдем точки пересечения окружности $$(x-5)^2 + (y-4)^2 = 65$$ и прямой $$3x - y + 6 = 0$$. Выразим y из второго уравнения:

$$y = 3x + 6$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$(x-5)^2 + (3x + 6 - 4)^2 = 65$$ $$(x-5)^2 + (3x + 2)^2 = 65$$ $$x^2 - 10x + 25 + 9x^2 + 12x + 4 = 65$$ $$10x^2 + 2x + 29 = 65$$ $$10x^2 + 2x - 36 = 0$$ $$5x^2 + x - 18 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-18) = 1 + 360 = 361$$

Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных решения. Следовательно, окружность пересекает прямую в двух точках. Найдем эти точки:

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{361}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 + 19}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5} = 1.8$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{361}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 - 19}{10} = \frac{-20}{10} = -2$$

Найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 3 \cdot \frac{9}{5} + 6 = \frac{27}{5} + \frac{30}{5} = \frac{57}{5} = 11.4$$ $$y_2 = 3 \cdot (-2) + 6 = -6 + 6 = 0$$

Таким образом, окружность пересекает прямую в точках (1.8, 11.4) и (-2, 0).

Ответ: а) парабола пересекает прямую в точках (6, 4) и (8/3, 16/9); б) окружность пересекает прямую в точках (1.8, 11.4) и (-2, 0).