88 Параллельные прямые АС и ВД пересекают плоскость а в точках А и В. Точки С и Д лежат по одну сторону от плоскости а, АС = 8 см, BD = 6 см, АВ = 4 см. а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость а в некоторой точке Е. б) Найдите отрезок ВЕ.

Решение:

а) Доказательство:

Пусть прямые АС и BD пересекают плоскость α в точках А и В соответственно. Точки C и D лежат по одну сторону от плоскости α. Рассмотрим плоскость β, содержащую прямые АС и BD. В плоскости β через точку А проведем прямую АВ параллельно прямой BD. Тогда четырехугольник ABDC - трапеция (или параллелограмм в частном случае). Прямая CD является секущей для плоскости α, так как точки C и D лежат по одну сторону от плоскости, а точки A и B - на плоскости. Следовательно, прямая CD пересекает плоскость α в некоторой точке E.

б) Найдем отрезок ВЕ.

Рассмотрим подобные треугольники ΔАСЕ и ΔBDE. Из подобия следует соотношение:

$$\frac{AE}{BE} = \frac{AC}{BD}$$

Пусть BE = x, тогда AE = AB + BE = 4 + x. Подставим известные значения:

$$\frac{4 + x}{x} = \frac{8}{6}$$

Решим уравнение:

$$6(4 + x) = 8x$$ $$24 + 6x = 8x$$ $$2x = 24$$ $$x = 12$$

Следовательно, BE = 12 см.

Ответ: BE = 12 см.