142. В правильной четырёхугольной пирамиде высота ранна 3, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

Объем правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле:$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h$$

В правильной четырехугольной пирамиде основание является квадратом.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC, где SO - высота пирамиды, OC - половина диагонали основания, SC - боковое ребро.

По теореме Пифагора:

$$OC = \sqrt{SC^2 - SO^2}$$

1. Найдем OC: $$OC = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$
2. Найдем AC: $$AC = 2 \cdot OC = 2 \cdot 4 = 8$$
3. Найдем сторону основания: $$a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$$
4. Найдем площадь основания: $$S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$$
5. Найдем объем: $$V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 3 = 32$$

Ответ: 32