10. Докажите, что в равнобедренном треугольнике: а) биссектрисы, проведённые из вершин основания, равны; б) медианы, проведённые из вершин основания, равны.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB, поэтому AC = BC.

а) Пусть биссектрисы из A и B пересекают соответственно BC и AC в точках E и D. Рассмотрим треугольники ACD и BCE. У них AC = BC; ∠CAD = ∠CBE, поскольку это половины равных углов при основании; ∠ACD = ∠BCE = ∠C. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому AD = BE.

б) Пусть медианы из A и B пересекают соответственно BC и AC в точках E и D. Из определения медианы CE = CD. Кроме того, AC = BC, а ∠ACE = ∠BCD (это угол C). Треугольники ACE и BCD равны по двум сторонам и углу между ними, откуда AE = BD.