12. В треугольнике ABC известно, что AB = 2 и медиана AM перпендикулярна биссектрисе BL. Найдите BC.

Пусть BL — биссектриса угла B, M — середина BC, а угол между BL и BA равен α. Поскольку BL делит угол B пополам, луч BC образует с BL такой же угол α по другую сторону.

1. Проекции AB и BC на направление BL равны соответственно AB · cos α и BC · cos α.
2. Так как M — середина BC, проекция BM равна (BC / 2) · cos α.
3. Условие AM ⟂ BL означает, что точки A и M имеют одинаковую проекцию на BL. Поэтому AB · cos α = (BC / 2) · cos α.
4. В невырожденном треугольнике cos α ≠ 0, значит, AB = BC / 2. При AB = 2 получаем BC = 4.

Ответ: BC = 4.