13. Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC перпендикулярно медиане CM, делит эту медиану пополам. Найдите AC : AB.

Пусть N — точка пересечения проведённой прямой с медианой CM. По условию N — середина CM, а AN ⟂ CM. Поэтому треугольники ACN и AMN прямоугольные.

Так как CM — медиана, M — середина AB, значит, AM = MB. Треугольники ACN и AMN имеют AN общую сторону, CN = NM и равные углы при N; следовательно, AC = AM. Тогда AB = AM + MB = 2AM = 2AC.

Ответ: AC : AB = 1 : 2.