11. На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC взяты точки D, E, F так, что AD = BE = CF. Докажите, что треугольник DEF также равносторонний.

Обозначим сторону равностороннего треугольника через a, а общую длину AD, BE и CF через x. Тогда DB = EC = FA = a − x.

Рассмотрим треугольники DBE, ECF и FAD. В каждом из них две стороны равны x и a − x, а угол между ними равен 120°: он смежный с углом равностороннего треугольника, равным 60°. Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому DE = EF = FD, и треугольник DEF равносторонний.