6. Свойство равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, совпадает с биссектрисой и высотой. Докажите.

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC AB = AC, а AM — медиана к основанию BC. Тогда BM = MC.

1. В треугольниках ABM и ACM: AB = AC, BM = MC, AM — общая сторона.
2. Треугольники равны по трём сторонам.
3. Отсюда ∠BAM = ∠MAC, поэтому AM — биссектриса угла A.
4. Также ∠AMB = ∠AMC. Эти углы смежные, а потому равные смежные углы прямые. Следовательно, AM ⟂ BC, и AM — высота.