10. Основания трапеции равны 4 см и 14 см, а боковая сторона равная 22 см, образует с одним из оснований трапеции угол равный 30°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \). Нам известны основания \( a=4 \) см и \( b=14 \) см. Нам нужно найти высоту \( h \).

Пусть боковая сторона \( c = 22 \) см образует угол \( \alpha = 30^{\circ} \) с основанием. Проведём из вершины меньшего основания высоту к большему основанию. Получится прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна \( c \), а один из катетов — высота \( h \).

Высоту найдём как катет, противолежащий углу \( 30^{\circ} \):

\[ h = c \cdot \sin(\alpha) \]

\[ h = 22 \text{ см} \cdot \sin(30^{\circ}) = 22 \text{ см} \cdot 0,5 = 11 \text{ см} \]

Теперь найдём площадь трапеции:

\[ S = \frac{4 \text{ см} + 14 \text{ см}}{2} \cdot 11 \text{ см} = \frac{18 \text{ см}}{2} \cdot 11 \text{ см} = 9 \text{ см} \cdot 11 \text{ см} = 99 \text{ см}^2 \]

Ответ: 99 см².