14. Сторона ромба равна 10, а расстояние от центра ромба до нее равно 3. Найдите площадь ромба.

Решение:

Расстояние от центра ромба до стороны — это высота, проведенная к этой стороне. Однако, это не высота всего ромба, а высота в треугольнике, образованном центром и стороной. Более того, расстояние от центра до стороны — это высота в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — радиус описанной окружности, а катеты — половинки диагоналей. В данном случае, это проще решить, используя свойство, что расстояние от центра до стороны — это половина высоты, если сторона ромба является основанием трапеции, а расстояние от центра до стороны - это высота в прямоугольном треугольнике. Но в данном случае, расстояние от центра до стороны является высотой треугольника, образованного центром и стороной. Высота этого треугольника к основанию (стороне ромба) равна 3. Площадь этого треугольника равна \( \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15 \). Так как ромб состоит из 4 таких равных треугольников (образованных центром и сторонами), то площадь ромба равна \( 4 \cdot 15 = 60 \).

Или, проще: расстояние от центра ромба до стороны — это высота треугольника, одна из сторон которого — сторона ромба, а две другие — отрезки от центра до вершин. В данном случае, расстояние от центра до стороны — это высота этого треугольника. Площадь этого треугольника равна \( \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \). Основание — сторона ромба \( a = 10 \), высота — расстояние от центра до стороны \( h = 3 \). Площадь такого треугольника равна \( \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15 \). Ромб состоит из 4 таких треугольников. Следовательно, площадь ромба равна \( 4 \cdot 15 = 60 \).

Ответ: 60.