16. В равнобедренной трапеции, угол при основании равен 45°, а основания равны 2см и 6 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

Дано:

\( a = 6 \) см, \( b = 2 \) см, угол при основании \( \alpha = 45° \).

Найти:

\( S \)

1. Найдем высоту трапеции. Проведем высоты из концов меньшего основания к большему. Получатся два прямоугольных треугольника. В каждом из них угол при основании равен 45°, а другой острый угол также будет 45° (так как сумма углов в треугольнике 180°). Это значит, что треугольники равнобедренные.
2. Разность оснований равна \( 6 \text{ см} - 2 \text{ см} = 4 \text{ см} \). Эта разность делится пополам между двумя равнобедренными прямоугольными треугольниками. Значит, отрезок от вершины большего основания до основания перпендикуляра равен \( \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см} \).
3. Так как треугольники равнобедренные, то высота \( h \) равна этому отрезку: \( h = 2 \text{ см} \).
4. Теперь вычислим площадь трапеции: \( S = \frac{6 \text{ см} + 2 \text{ см}}{2} \cdot 2 \text{ см} = \frac{8 \text{ см}}{2} \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 8 \text{ см}^2 \).

Ответ: 8 см².