16. В равнобедренной трапеции, угол при основании равен 45°, а основания равны 2см и 6 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \). Нам известны основания \( a=2 \) см и \( b=6 \) см. Нужно найти высоту \( h \).

В равнобедренной трапеции проведём высоты из концов меньшего основания к большему. Получатся два прямоугольных треугольника. Большее основание \( b = 6 \) см, меньшее \( a = 2 \) см. Разность оснований \( b - a = 6 - 2 = 4 \) см. Эта разность делится поровну между основаниями двух прямоугольных треугольников. Значит, основание каждого прямоугольного треугольника равно \( \frac{4}{2} = 2 \) см.

Угол при основании трапеции равен \( 45^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой \( h \), основанием \( 2 \) см и боковой стороной, угол при основании равен \( 45^{\circ} \). Следовательно, второй острый угол равен \( 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Это означает, что треугольник равнобедренный, и его катеты равны. Значит, высота \( h \) равна основанию прямоугольного треугольника.

\[ h = 2 \text{ см} \]

Теперь найдём площадь трапеции:

\[ S = \frac{2 \text{ см} + 6 \text{ см}}{2} \cdot 2 \text{ см} = \frac{8 \text{ см}}{2} \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 8 \text{ см}^2 \]

Ответ: 8 см².