11. Докажите, используя теорему синусов, что биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Пусть в треугольнике \(ABC\) биссектриса \(AD\) делит сторону \(BC\) на отрезки \(BD\) и \(DC\). Тогда \(\angle BAD=\angle DAC\).

По теореме синусов в треугольниках \(ABD\) и \(ACD\):

\(\frac{BD}{\sin\angle BAD}=\frac{AB}{\sin\angle ADB}\), поэтому \(BD=AB\cdot\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle ADB}\).

\(\frac{DC}{\sin\angle DAC}=\frac{AC}{\sin\angle ADC}\), поэтому \(DC=AC\cdot\frac{\sin\angle DAC}{\sin\angle ADC}\).

Углы \(ADB\) и \(ADC\) supplementary, значит их синусы равны. Кроме того, \(\angle BAD=\angle DAC\). Поэтому:

\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\).

Что и требовалось доказать.