12. В треугольнике ABC проведена медиана CD. Докажите, что AC/BC = sin ∠DCB / sin ∠DCA.

Так как \(CD\) — медиана, то \(AD=DB\).

По теореме синусов в треугольнике \(ACD\):

\(AC=AD\cdot\frac{\sin\angle ADC}{\sin\angle DCA}\).

В треугольнике \(BCD\):

\(BC=DB\cdot\frac{\sin\angle BDC}{\sin\angle DCB}\).

Углы \(ADC\) и \(BDC\) — смежные, поэтому \(\sin\angle ADC=\sin\angle BDC\). Учитывая \(AD=DB\), делим равенства:

\(\frac{AC}{BC}=\frac{\sin\angle DCB}{\sin\angle DCA}\).

Что и требовалось доказать.