13. Найдите значение выражения p(4 + p) + (p - 2)(p + 2) при p = 3/4.

Задание 13

Нужно найти значение выражения \( p(4 + p) + (p - 2)(p + 2) \) при \( p = \frac{3}{4} \).

Решение:

1. Раскроем первую скобку, умножив \( p \) на каждый член: \( p \cdot 4 + p \cdot p = 4p + p^2 \).
2. Вторая часть выражения \( (p - 2)(p + 2) \) — это разность квадратов, по формуле \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \( p^2 - 2^2 = p^2 - 4 \).
3. Теперь сложим полученные выражения: \( (4p + p^2) + (p^2 - 4) \).
4. Раскроем скобки: \( 4p + p^2 + p^2 - 4 \).
5. Приведем подобные слагаемые: \( p^2 + p^2 = 2p^2 \).
6. Упрощенное выражение: \( 2p^2 + 4p - 4 \).
7. Теперь найдем значение выражения при \( p = \frac{3}{4} \): \( 2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 4 \cdot \frac{3}{4} - 4 \).
8. Возведем дробь в квадрат: \( \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} \).
9. \( 2 \cdot \frac{9}{16} + 4 \cdot \frac{3}{4} - 4 \).
10. Сократим: \( \frac{18}{16} + \frac{12}{4} - 4 \).
11. \( \frac{9}{8} + 3 - 4 \).
12. \( \frac{9}{8} - 1 \).
13. Приведем к общему знаменателю 8: \( \frac{9}{8} - \frac{8}{8} = \frac{1}{8} \).

Ответ: 1/8