14. 4 √3 sin x + cos x = 0.

Решение:

• Данное уравнение является однородным уравнением первой степени. Разделим обе части на \( \cos x \) (при условии, что \( \cos x \ne 0 \)):

\[ \sqrt{3} \text{tg } x + 1 = 0 \]

• Перенесем 1 в правую часть:

\[ \sqrt{3} \text{tg } x = -1 \]

• Найдем \( \text{tg } x \):

\[ \text{tg } x = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]

• Решим уравнение:

\[ x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

• Проверим, является ли \( \cos x = 0 \) решением исходного уравнения. Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \).
• Подставим в исходное уравнение: \( \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{2} + \pi n) + 0 = 0 \).
• \( \sin(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \pm 1 \).
• Тогда \( \sqrt{3}(\pm 1) = 0 \), что неверно. Значит, \( \cos x \ne 0 \).

Финальный ответ:

Ответ: $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$