6. tg x = 2 - tg²x.

Решение:

• Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\[ \text{tg } x + \text{tg}^2 x - 2 = 0 \]

• Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения относительно \( \text{tg } x \):

\[ \text{tg}^2 x + \text{tg } x - 2 = 0 \]

• Обозначим \( y = \text{tg } x \). Уравнение примет вид:

\[ y^2 + y - 2 = 0 \]

• Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]

• Найдем корни квадратного уравнения:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]

\[ y_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

• Вернемся к замене \( y = \text{tg } x \):

\[ \text{tg } x = 1 \quad \text{или} \quad \text{tg } x = -2 \]

• Решим первое уравнение:

\[ \text{tg } x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

• Решим второе уравнение:

\[ \text{tg } x = -2 \implies x = \text{arctg}(-2) + \pi n = -\text{arctg}(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Финальный ответ:

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$$ и $$x = -\text{arctg}(2) + \pi n$$, где $$k, n \in \mathbb{Z}$$