8. 2sin²x + 3cosx = 0.

Решение:

• Заменим \( \sin^2 x \) на \( 1 - \cos^2 x \):

\[ 2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0 \]

• Раскроем скобки:

\[ 2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0 \]

• Перенесем все члены в правую часть и умножим на -1 для удобства:

\[ 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0 \]

• Обозначим \( y = \cos x \). Тогда \(-1 \le y \le 1\). Уравнение примет вид:

\[ 2y^2 - 3y - 2 = 0 \]

• Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \]

• Найдем корни квадратного уравнения:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{3 \pm 5}{4} \]

\[ y_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

• Вернемся к замене \( y = \cos x \):

\[ \cos x = 2 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{1}{2} \]

• Уравнение \( \cos x = 2 \) не имеет решений, так как \( 2 > 1 \).
• Решим второе уравнение:

\[ \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Финальный ответ:

Ответ: $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$