17. 5 sin²x - 3 cos²x + 2 sin x cos x = 0.

Решение:

• Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Разделим обе части на \( \cos^2 x \) (при условии, что \( \cos x \ne 0 \)):

\[ 5 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 3 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + 2 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} = 0 \]

\[ 5 \text{tg}^2 x - 3 + 2 \text{tg } x = 0 \]

• Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения относительно \( \text{tg } x \):

\[ 5 \text{tg}^2 x + 2 \text{tg } x - 3 = 0 \]

• Обозначим \( y = \text{tg } x \). Уравнение примет вид:

\[ 5y^2 + 2y - 3 = 0 \]

• Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(5)(-3) = 4 + 60 = 64 \]

• Найдем корни квадратного уравнения:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2(5)} = \frac{-2 \pm 8}{10} \]

\[ y_1 = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

\[ y_2 = \frac{-2 - 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \]

• Вернемся к замене \( y = \text{tg } x \):

\[ \text{tg } x = \frac{3}{5} \quad \text{или} \quad \text{tg } x = -1 \]

• Решим первое уравнение:

\[ \text{tg } x = \frac{3}{5} \implies x = \text{arctg}\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

• Решим второе уравнение:

\[ \text{tg } x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

• Проверим, является ли \( \cos x = 0 \) решением исходного уравнения. Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \).
• Подставим в исходное уравнение: \( 5(\pm 1)^2 - 3(0)^2 + 2(\pm 1)(0) = 5 - 0 + 0 = 5 \ne 0 \). Значит, \( \cos x \ne 0 \).

Финальный ответ:

Ответ: $$x = \text{arctg}\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k$$ и $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$, где $$k, n \in \mathbb{Z}$$