4. 2 sin²x + sin x - 3 = 0.

Решение:

• Обозначим \( y = \sin x \). Так как \(-1 \le \sin x \le 1\), то \(-1 \le y \le 1\).
• Уравнение примет вид квадратного:

\[ 2y^2 + y - 3 = 0 \]

• Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25 \]

• Найдем корни квадратного уравнения:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{-1 \pm 5}{4} \]

\[ y_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \]

• Вернемся к замене \( y = \sin x \):

\[ \sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{3}{2} \]

• Решим первое уравнение:

\[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

• Второе уравнение \( \sin x = -\frac{3}{2} \) не имеет решений, так как \(-1 \le \sin x \le 1\), а \(-\frac{3}{2} = -1.5 < -1\).

Финальный ответ:

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$