5. tg x = 3 ctg x.

Решение:

• Перепишем уравнение, используя \( \text{ctg } x = \frac{1}{\text{tg } x} \):

\[ \text{tg } x = 3 \cdot \frac{1}{\text{tg } x} \]

• Умножим обе части на \( \text{tg } x \) (при условии, что \( \text{tg } x \ne 0 \)):

\[ \text{tg}^2 x = 3 \]

• Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[ \text{tg } x = \pm \sqrt{3} \]

• Рассмотрим два случая:

\[ \text{tg } x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad \text{tg } x = -\sqrt{3} \]

• Частные случаи для тангенса:

\[ x = \frac{\pi}{3} + \pi k \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z} \]

• Объединив эти решения, получим:

\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]

• Проверим условие \( \text{tg } x \ne 0 \). Если \( x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m \), то \( \text{tg } x \ne 0 \).

Финальный ответ:

Ответ: $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m$$, где $$m \in \mathbb{Z}$$