16. 4 3 sinx + 2 cosx = 0.

Решение:

• Данное уравнение является однородным уравнением первой степени. Разделим обе части на \( \cos x \) (при условии, что \( \cos x \ne 0 \)):

\[ 3 \text{tg } x + 2 = 0 \]

• Перенесем 2 в правую часть:

\[ 3 \text{tg } x = -2 \]

• Найдем \( \text{tg } x \):

\[ \text{tg } x = -\frac{2}{3} \]

• Решим уравнение:

\[ x = \text{arctg}\left(-\frac{2}{3}\right) + \pi k = -\text{arctg}\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

• Проверим, является ли \( \cos x = 0 \) решением исходного уравнения. Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \).
• Подставим в исходное уравнение: \( 3 \sin(\frac{\pi}{2} + \pi n) + 2(0) = 0 \).
• \( \sin(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \pm 1 \).
• Тогда \( 3(\pm 1) = 0 \), что неверно. Значит, \( \cos x \ne 0 \).

Финальный ответ:

Ответ: $$x = -\text{arctg}\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$