18. 6 cos²x + sin²x - 5 sin x cos x = 0.

Решение:

• Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Разделим обе части на \( \cos^2 x \) (при условии, что \( \cos x \ne 0 \)):

\[ 6 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 5 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} = 0 \]

\[ 6 + \text{tg}^2 x - 5 \text{tg } x = 0 \]

• Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения относительно \( \text{tg } x \):

\[ \text{tg}^2 x - 5 \text{tg } x + 6 = 0 \]

• Обозначим \( y = \text{tg } x \). Уравнение примет вид:

\[ y^2 - 5y + 6 = 0 \]

• Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \]

• Найдем корни квадратного уравнения:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

\[ y_1 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

• Вернемся к замене \( y = \text{tg } x \):

\[ \text{tg } x = 3 \quad \text{или} \quad \text{tg } x = 2 \]

• Решим первое уравнение:

\[ \text{tg } x = 3 \implies x = \text{arctg}(3) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

• Решим второе уравнение:

\[ \text{tg } x = 2 \implies x = \text{arctg}(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

• Проверим, является ли \( \cos x = 0 \) решением исходного уравнения. Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \).
• Подставим в исходное уравнение: \( 6(0)^2 + (\pm 1)^2 - 5 (\pm 1)(0) = 0 + 1 - 0 = 1 \ne 0 \). Значит, \( \cos x \ne 0 \).

Финальный ответ:

Ответ: $$x = \text{arctg}(3) + \pi k$$ и $$x = \text{arctg}(2) + \pi n$$, где $$k, n \in \mathbb{Z}$$