7. 2sin²x + cos²x - 3sin x - 5 = 0.

Решение:

• Заменим \( \cos^2 x \) на \( 1 - \sin^2 x \):

\[ 2\sin^2 x + (1 - \sin^2 x) - 3\sin x - 5 = 0 \]

• Упростим выражение:

\[ \sin^2 x - 3\sin x - 4 = 0 \]

• Обозначим \( y = \sin x \). Тогда \(-1 \le y \le 1\). Уравнение примет вид:

\[ y^2 - 3y - 4 = 0 \]

• Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \]

• Найдем корни квадратного уравнения:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 \pm 5}{2} \]

\[ y_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

• Вернемся к замене \( y = \sin x \):

\[ \sin x = 4 \quad \text{или} \quad \sin x = -1 \]

• Уравнение \( \sin x = 4 \) не имеет решений, так как \( 4 > 1 \).
• Решим второе уравнение:

\[ \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Финальный ответ:

Ответ: $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$