15. Найти объем шара, описанного вокруг куба объема 216.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим длину ребра куба (a).
• Объем куба (V_куба) = 216
• \( V_{\text{куба}} = a^3 \)
• \( a^3 = 216 \)
• \( a = \sqrt[3]{216} = 6 \)
2. Шаг 2: Находим диагональ куба (d_куба).
• \( d_{\text{куба}} = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
3. Шаг 3: Определяем радиус описанного шара (R).
• Диаметр шара равен диагонали куба: \( D_{\text{шара}} = d_{\text{куба}} = 6\sqrt{3} \).
• Радиус шара \( R = D_{\text{шара}} / 2 = (6\sqrt{3}) / 2 = 3\sqrt{3} \).
4. Шаг 4: Находим объем шара (V_шара).
• \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi R^3 \)
• \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi (3\sqrt{3})^3 \)
• \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi (27 \times 3\sqrt{3}) \)
• \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi (81\sqrt{3}) \)
• \( V_{\text{шара}} = 4 \pi (27\sqrt{3}) = 108\sqrt{3}\pi \)

Ответ: 108√3π