7. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы с равными ребрами равна 180. Найти объем пирамиды.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим длину ребра куба (a).
• Площадь полной поверхности куба \( S_{полн} = 6a^2 \)
• \( 180 = 6a^2 \)
• \( a^2 = 180 / 6 = 30 \)
• \( a = \sqrt{30} \)
2. Шаг 2: Находим объем куба (V_куба).
• \( V_{\text{куба}} = a^3 = (\sqrt{30})^3 = 30\sqrt{30} \)
3. Шаг 3: Находим объем пирамиды (V_пир).
• Объем пирамиды, вписанной в куб (с основанием, совпадающим с одной из граней куба, и вершиной в центре противоположной грани, или с вершиной на противоположной грани), равен 1/3 объема куба.
• \( V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} V_{\text{куба}} = \frac{1}{3} \times 30\sqrt{30} = 10\sqrt{30} \)

Ответ: 10√30