17. Дано комплексное число \(z=3+\sqrt3i\). Найти \(z^{20}\).

Из тригонометрической формы \(z=2\sqrt3(\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6)\) применяем формулу Муавра:

\(z^{20}=(2\sqrt3)^{20}\left(\cos\frac{20\pi}{6}+i\sin\frac{20\pi}{6}\right)\).

Так как \((2\sqrt3)^{20}=12^{10}=61917364224\), а \(\frac{20\pi}{6}=\frac{10\pi}{3}\equiv\frac{4\pi}{3}\pmod{2\pi}\), то

\(z^{20}=61917364224\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)=-30958682112-30958682112\sqrt3i\).

Ответ: \(-30958682112-30958682112\sqrt3i\).