17. Диагональ АС ромба ABCD равна 36, а tg ∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Дано: Ромб ABCD, AC = 36, tg ∠BCA = 4/3.

Найти: Радиус вписанной окружности r.

Решение:

1. Находим половину диагонали AC: AO = OC = AC / 2 = 36 / 2 = 18.
2. Находим tg ∠BAC: В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. ∠BCA = ∠BAC. Значит, tg ∠BAC = 4/3.
3. Находим сторону AB: В прямоугольном треугольнике ABC (угол B = 90°), tg ∠BAC = BC / AB. Также, в прямоугольном треугольнике AOB (угол O = 90°), tg ∠BAO = OB / AO. Так как ∠BAC = ∠BCA, то tg ∠BAC = 4/3. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. Угол O = 90°. Угол BAO = ∠BAC.
4. Используем тангенс для нахождения OB: tg ∠BAO = OB / AO. Т.к. tg ∠BAC = 4/3, а ∠BAC = ∠BAO, то tg ∠BAO = 4/3.
5. $$ \frac{OB}{18} = \frac{4}{3} $$
6. $$ OB = \frac{4}{3} \times 18 = 4 \times 6 = 24 $$
7. Находим диагональ BD: BD = 2 * OB = 2 * 24 = 48.
8. Находим сторону ромба AB: В прямоугольном треугольнике AOB, по теореме Пифагора:
9. $$ AB^2 = AO^2 + OB^2 $$
10. $$ AB^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 $$
11. $$ AB = \sqrt{900} = 30 $$
12. Находим площадь ромба: Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
13. $$ S = \frac{1}{2} imes AC imes BD = \frac{1}{2} imes 36 imes 48 = 18 imes 48 = 864 $$
14. Находим радиус вписанной окружности: Площадь ромба также равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. Периметр ромба P = 4 * AB = 4 * 30 = 120. Полупериметр p = P / 2 = 120 / 2 = 60.
15. $$ S = p imes r $$
16. $$ 864 = 60 imes r $$
17. $$ r = \frac{864}{60} = \frac{144}{10} = 14.4 $$

Ответ: 14.4