18. Диагональ АС ромба ABCD равна 6, а tg ∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Дано: Ромб ABCD, AC = 6, tg ∠BCA = 4/3.

Найти: Радиус вписанной окружности r.

Решение:

1. Находим половину диагонали AC: AO = OC = AC / 2 = 6 / 2 = 3.
2. Находим tg ∠BAC: В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. ∠BCA = ∠BAC. Значит, tg ∠BAC = 4/3.
3. Находим OB: В прямоугольном треугольнике AOB (угол O = 90°). tg ∠BAO = OB / AO. Так как ∠BAC = ∠BAO, то tg ∠BAO = 4/3.
4. $$ \frac{OB}{3} = \frac{4}{3} $$
5. $$ OB = \frac{4}{3} \times 3 = 4 $$
6. Находим диагональ BD: BD = 2 * OB = 2 * 4 = 8.
7. Находим сторону ромба AB: В прямоугольном треугольнике AOB, по теореме Пифагора:
8. $$ AB^2 = AO^2 + OB^2 $$
9. $$ AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $$
10. $$ AB = \sqrt{25} = 5 $$
11. Находим площадь ромба: Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
12. $$ S = \frac{1}{2} imes AC imes BD = \frac{1}{2} imes 6 imes 8 = 3 imes 8 = 24 $$
13. Находим радиус вписанной окружности: Площадь ромба также равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. Периметр ромба P = 4 * AB = 4 * 5 = 20. Полупериметр p = P / 2 = 20 / 2 = 10.
14. $$ S = p imes r $$
15. $$ 24 = 10 imes r $$
16. $$ r = \frac{24}{10} = 2.4 $$

Ответ: 2.4