25. Решите уравнение: 4^x - 3 \(\cdot\) 2^x - 4 = 0

Решение:

Заметим, что \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \). Введём замену переменной \( y = 2^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 3y - 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = 2^x \):

1. \( 2^x = 4 \) $$\implies$$ \( 2^x = 2^2 \) $$\implies$$ \( x = 2 \).

2. \( 2^x = -1 \). Это уравнение не имеет решений, так как степень положительного числа всегда положительна.

Ответ: x = 2.