27. Решите уравнение: 25^x - 6 \(\cdot\) 5^x + 5 = 0

Решение:

Заметим, что \( 25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 \). Введём замену переменной \( y = 5^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 6y + 5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант:

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5 \]

\[ y_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = 1 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = 5^x \):

1. \( 5^x = 5 \) $$\implies$$ \( 5^x = 5^1 \) $$\implies$$ \( x = 1 \).

2. \( 5^x = 1 \) $$\implies$$ \( 5^x = 5^0 \) $$\implies$$ \( x = 0 \).

Ответ: x = 0, x = 1.