30. В параллелограмме ABCD диагональ AC в два раза больше стороны AB, а ∠ACD = 108°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

Так как CD параллельна AB, угол между AC и AB, взятый как меньший угол между прямыми, равен \(180°-108°=72°\). Обозначим длину AB через a; тогда AC = 2a.

В векторном представлении диагональ BD равна разности векторов AC и 2AB. Относительно направления AC её составляющие пропорциональны \(2(1-\cos72°)\) вдоль AC и \(2\sin72°\) перпендикулярно AC. Поэтому тангенс угла между диагоналями равен \(\sin72°/(1-\cos72°)=\cot36°\), и искомый угол равен 54°? Проверка тождества: \(\sin72°/(1-\cos72°)=\cot36°\), следовательно угол равен 54°.

Ответ: 54°.