32.18. Найдите действительные числа a и b, для которых верно равенство z = az₁ + bz₂, если: а) z₁ = 1, z₂ = 1 + i, z = 5 + 2i; б) z₁ = −2 + i, z₂ = 3 − i, z = i; в) z₁ = 1 + i, z₂ = 1 − i, z = 3 + 5i; г) z₁ = 4 − i, z₂ = −7 + 2i, z = 1.

1. а) Приравниваем действительные и мнимые части: \(a+b=5\), \(b=2\). Отсюда \(a=3\), \(b=2\).
2. б) Получаем систему \(-2a+3b=0\), \(a-b=1\). Из второго уравнения \(a=b+1\); подстановка даёт \(b=2\), \(a=3\).
3. в) Получаем \(a+b=3\), \(a-b=5\). Складывая уравнения, находим \(a=4\), затем \(b=-1\).
4. г) Так как число 1 имеет нулевую мнимую часть, имеем \(4a-7b=1\), \(-a+2b=0\). Отсюда \(a=2b\), значит \(b=1\), \(a=2\).

Ответ: а) \(a=3,b=2\); б) \(a=3,b=2\); в) \(a=4,b=-1\); г) \(a=2,b=1\).