32.30. а) Докажите, что число (−b + i√a)³ + (b − i√a)³ при любых действительных значениях a > 0 и b является действительным. б) Вычислите (2 + i√5)³ + (2 − i√5)³.

а) Заметим, что \(b-i\sqrt a=-(-b+i\sqrt a)\). Поэтому куб второго слагаемого равен \(-(-b+i\sqrt a)^3\), и сумма равна \(0\), что является действительным числом.

б) Числа \(2+i\sqrt5\) и \(2-i\sqrt5\) сопряжённые, поэтому сумма их кубов действительна. По формуле \((x+y)^3+(x-y)^3=2x^3+6xy^2\), при \(x=2\), \(y=i\sqrt5\) получаем \(16+12(-5)=-44\).

Ответ: а) сумма равна 0 и потому действительна; б) \(-44\).