32.23. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и знаменателем, равным 1 − i. а) Найдите третий член прогрессии. б) Найдите девятый член прогрессии. в) На каких местах в этой прогрессии расположены чисто мнимые числа? г) На каких местах в этой прогрессии расположены действительные числа?

Общий член: \(z_n=i(1-i)^{n-1}\).

1. а) \(z_3=i(1-i)^2=i(-2i)=2\).
2. б) \((1-i)^2=-2i\), \((1-i)^4=-4\), следовательно, \((1-i)^8=16\). Поэтому \(z_9=16i\).
3. Для определения видов членов запишем первые степени: \((1-i)^2=-2i\), \((1-i)^3=-2-2i\), \((1-i)^4=-4\). Умножение на \((1-i)^4=-4\) сохраняет направление на вещественной или мнимой оси, меняя только масштаб и знак. В последовательности множители \(i(1-i)^{n-1}\) лежат на мнимой оси при \(n\equiv1\pmod4\), и на действительной оси при \(n\equiv3\pmod4\).
4. г) Значит, действительные члены стоят на местах \(3,7,11,\ldots\), то есть \(n=4k+3\), где \(k=0,1,2,\ldots\).

Ответ: а) \(z_3=2\); б) \(z_9=16i\); в) чисто мнимые члены — на местах \(n=4k+1\); г) действительные — на местах \(n=4k+3\), где \(k\ge0\) — целое.