32.28. Найдите действительные числа a и b, для которых верно равенство z₁/z₂ = a z₁/z₁ + b z₂, если: а) z₁ = i, z₂ = 2; б) z₁ = 1 + i, z₂ = 1 − i; в) z₁ = 1 + 2i, z₂ = 1 − 2i; г) z₁ = 1 + i, z₂ = 1 + 2i.

В условии на изображении формула читается как \(z_1/z_2=a\,z_2/z_1+bz_2\). Используем именно это прочтение и приравниваем действительные и мнимые части.

1. а) \(z_1/z_2=i/2\), \(z_2/z_1=2/i=-2i\). Уравнение \(i/2=-2ai+2b\) даёт \(b=0\), \(a=-1/4\).
2. б) \(z_1/z_2=i\), \(z_2/z_1=-i\). Равенство \(i=-ai+b(1-i)\) даёт \(b=0\), \(a=-1\).
3. в) \(z_1/z_2=(-3+4i)/5\), \(z_2/z_1=(-3-4i)/5\). Из равенства действительных частей следует \(a=1\ne0\text{?}\) Сравнение мнимых и действительных частей уравнения даёт систему \(-3/5=-3a/5+b\), \(4/5=-4a/5-2b\). Отсюда \(a=1/2\), \(b=-3/10\).
4. г) \(z_1/z_2=(3-i)/5\), \(z_2/z_1=(3+i)/5\). Получаем \(3/5=3a/5+b\), \(-1/5=a/5+2b\), откуда \(a=1\), \(b=0\).

Ответ: а) \(a=-1/4,b=0\); б) \(a=-1,b=0\); в) \(a=1/2,b=-3/10\); г) \(a=1,b=0\).