34. \(\log_2(4^x+4)=x+\log_2(2^{x+1}-3)\).

Область определения задаётся условием \(2^{x+1}-3>0\). Обозначим \(y=2^x\); тогда \(y>0\), а условие области определения принимает вид \(2y-3>0\).

Поскольку \(x=\log_2 y\), правая часть равна \(\log_2 y+\log_2(2y-3)=\log_2(y(2y-3))\). Левая часть равна \(\log_2(y^2+4)\).

Приравниваем аргументы: \(y^2+4=y(2y-3)\), откуда \(y^2-3y-4=0\), то есть \((y-4)(y+1)=0\). С учётом \(y>0\) получаем \(y=4\), что удовлетворяет условию \(2y-3>0\).

Значит, \(2^x=4\), поэтому \(x=2\).

Ответ: \(2\).