40. \(\log_4\bigl(2\log_3(1+\log_2(1+3\log_3 x))\bigr)=\frac12\).

Последовательно снимаем логарифмы, сохраняя их области определения. Из исходного уравнения следует \(2\log_3(1+\log_2(1+3\log_3 x))=4^{1/2}=2\).

Значит, \(\log_3(1+\log_2(1+3\log_3 x))=1\), поэтому \(1+\log_2(1+3\log_3 x)=3\).

Далее \(\log_2(1+3\log_3 x)=2\), откуда \(1+3\log_3 x=4\). Тогда \(\log_3 x=1\), и \(x=3\). При этом все аргументы внутренних логарифмов положительны.

Ответ: \(3\).