45. \(x^{\log_{\sqrt{x}}(x-2)}=9\).

Из аргумента логарифма следует \(x-2>0\), то есть \(x>2\). Поэтому основание \(\sqrt{x}\) допустимо и не равно единице.

Используем \(\log_{\sqrt{x}}(x-2)=2\log_x(x-2)\). Тогда \(x^{\log_{\sqrt{x}}(x-2)}=x^{2\log_x(x-2)}=(x-2)^2\).

Итак, \((x-2)^2=9\). С учётом \(x>2\) имеем \(x-2=3\), откуда \(x=5\).

Ответ: \(5\).