42. \(\log_{\sqrt{x}}2+4\log_4x^2+9=0\).

Область определения: \(x>0\), \(x\ne1\). Положим \(t=\log_2x\), где \(t\ne0\). Тогда \(\log_{\sqrt{x}}2=\frac2t\), а \(\log_4x^2=t\).

Получаем \(\frac2t+4t+9=0\). Умножаем на \(t\ne0\): \(4t^2+9t+2=0\), или \((4t+1)(t+2)=0\).

Значит, \(t=-\frac14\) или \(t=-2\). Отсюда \(x=2^{-1/4}\) или \(x=2^{-2}=\frac14\); оба значения допустимы.

Ответ: \(\frac14;\ 2^{-1/4}\).