4. log₈x + log₅x = log₂₅40

Область определения: \(x>0\). Запишем логарифмы через натуральные: \(\frac{\ln x}{\ln 8}+\frac{\ln x}{\ln 5}=\frac{\ln 40}{\ln 25}\).

Так как \(\ln 8=3\ln 2\) и \(\ln 25=2\ln 5\), получаем \(\ln x\left(\frac{1}{3\ln 2}+\frac{1}{\ln 5}\right)=\frac{\ln 40}{2\ln 5}\).

Отсюда \(\ln x=\frac{3\ln 2\,\ln 40}{2(\ln 5+3\ln 2)}\), следовательно, \(x=40^{\frac{3\ln 2}{2(\ln 5+3\ln 2)}}\). Коэффициент при \(\ln x\) положителен, поэтому это единственное решение.

Ответ: \(x=40^{\frac{3\ln 2}{2(\ln 5+3\ln 2)}}\).