41. Доказать тождество \(\sqrt{a+\sqrt b}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}2}+\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}2}\) при \(a>0, b>0, a^2-b>0\).

Обозначим правую часть через \(R\). Возведём её в квадрат:

\(R^2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}2+\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}2+2\sqrt{\dfrac{a^2-(a^2-b)}4}\).

Сумма первых двух дробей равна \(a\), а последний член равен \(\sqrt b\). Следовательно, \(R^2=a+\sqrt b\). Оба слагаемых в \(R\) неотрицательны, поэтому \(R\ge0\), откуда \(R=\sqrt{a+\sqrt b}\).

Тождество доказано.