41. На продолжении гипотенузы AB прямоугольного равнобедренного треугольника ABC за точкой B отметили точку D так, что BD = BC. Найдите отрезок CD, если катет треугольника ABC равен a.

Поскольку треугольник прямоугольный равнобедренный, \(\angle ABC=45^\circ\). Луч BD противоположен лучу BA, поэтому \(\angle CBD=180^\circ-45^\circ=135^\circ\). При этом \(BD=BC=a\).

По теореме косинусов в треугольнике BCD:

\(CD^2=a^2+a^2-2a^2\cos135^\circ=2a^2+\sqrt2a^2\).

Ответ: \(CD=a\sqrt{2+\sqrt2}\).