43. Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удалён от концов гипотенузы на a см и b см. Найдите гипотенузу треугольника.

Обозначим концы гипотенузы A и B, а центр вписанной окружности — I. Угол между отрезками IA и IB равен \(90^\circ+\frac{90^\circ}{2}=135^\circ\), поскольку угол при вершине прямоугольного треугольника равен 90°.

В треугольнике AIB стороны \(IA=a\), \(IB=b\), а противоположная им сторона AB — гипотенуза исходного треугольника. По теореме косинусов:

\(AB^2=a^2+b^2-2ab\cos135^\circ=a^2+b^2+\sqrt2ab\).

Ответ: \(\sqrt{a^2+b^2+\sqrt2ab}\) см.