410. Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

а) Нет. Равенство и перпендикулярность диагоналей сами по себе не гарантируют, что они делятся пополам; такой четырёхугольник может не быть параллелограммом.

б) Нет. Общая середина диагоналей означает, что четырёхугольник является параллелограммом. Перпендикулярные диагонали дают ромб, но ромб не обязательно является квадратом.

в) Да. Общая середина диагоналей означает, что четырёхугольник — параллелограмм. Перпендикулярные диагонали дают ромб, а равные диагонали — прямоугольник. Параллелограмм, являющийся одновременно ромбом и прямоугольником, есть квадрат.