411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.

Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник, \(\angle C=90^\circ\), а биссектриса \(CM\) пересекает гипотенузу \(AB\) в точке \(M\). Через \(M\) проведены прямые, параллельные катетам. Они образуют с катетами четырёхугольник \(CNMP\).

Так как \(CM\) — биссектриса прямого угла, расстояния от точки \(M\) до обоих катетов равны. Поэтому две стороны четырёхугольника, лежащие на катетах, равны. Все его углы прямые, поскольку проведённые прямые параллельны катетам. Следовательно, полученный четырёхугольник — прямоугольник с равными соседними сторонами, то есть квадрат.