412. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, катетом AC=12 см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина E — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

Пусть сторона квадрата равна \(x\). Введём координаты: \(C(0,0)\), \(A(12,0)\), \(B(0,12)\). Гипотенуза \(AB\) имеет уравнение \(x+y=12\).

Противоположная вершина квадрата имеет координаты \((x,x)\), так как две стороны квадрата лежат на катетах. Она лежит на гипотенузе, поэтому \(x+x=12\), откуда \(x=6\) см.

Периметр квадрата: \(P=4x=4\cdot6=24\) см.

Ответ: 24 см.