452 Найдите значения переменной а, при которых: а) значение выражения 5а² + 5а - 6 равно 24; б) значение выражения а(а – 4) равно 60.

Решение:

а) значение выражения \( 5a^2 + 5a - 6 \) равно 24

1. Приравняем выражение к 24: \( 5a^2 + 5a - 6 = 24 \).
2. Перенесём 24 влево, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \( 5a^2 + 5a - 6 - 24 = 0 \), то есть \( 5a^2 + 5a - 30 = 0 \).
3. Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения: \( a^2 + a - 6 = 0 \).
4. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).
5. Найдём корни:
• \( a_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
• \( a_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Ответ к пункту а: \( a = 2 \) или \( a = -3 \).

б) значение выражения \( a(a - 4) \) равно 60

1. Раскроем скобки: \( a^2 - 4a = 60 \).
2. Перенесём 60 влево, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \( a^2 - 4a - 60 = 0 \).
3. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256 \).
4. Найдём корни:
• \( a_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
• \( a_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \)

Ответ к пункту б: \( a = 10 \) или \( a = -6 \).