454 г) 5 – 4x = 4(x − 1)²

Решение:

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду.

1. Правая часть: \( 4(x - 1)^2 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4x^2 - 8x + 4 \).
2. Приравняем обе части: \( 5 - 4x = 4x^2 - 8x + 4 \).
3. Перенесём все члены в правую часть, чтобы коэффициент при \( x^2 \) был положительным: \( 4x^2 - 8x + 4 - 5 + 4x = 0 \).
4. Приведём подобные члены: \( 4x^2 - 4x - 1 = 0 \).
5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32 \).
6. Найдём корни:
• \( x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \)
• \( x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2} \)

Ответ: \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{2}}{2} \).