49. \(2\log_2(\log_2 x)+\log_{\frac12}\bigl(\log_2(2\sqrt{2}\,x)\bigr)=1\).

Положим \(t=\log_2 x\). По области определения \(t>0\). Так как \(\log_2(2\sqrt{2}\,x)=t+\frac32\), а логарифм по основанию \(\frac12\) равен логарифму по основанию 2 со знаком минус, имеем

\(2\log_2 t-\log_2\left(t+\frac32\right)=1\).

Объединяем логарифмы: \(\frac{t^2}{t+\frac32}=2\), откуда \(t^2-2t-3=0\). Корни: \(t=3\) и \(t=-1\); условию \(t>0\) удовлетворяет только \(t=3\). Следовательно, \(x=2^3=8\).

Ответ: \(8\).