53. \(2x+1=2\log_2\bigl(9^x+3^{2x-1}-2^{x+3.5}\bigr)\).

Аргумент логарифма должен быть положительным. Из уравнения следует \(\log_2(\ldots)=x+\frac12\), поэтому аргумент равен \(2^{x+\frac12}\).

Так как \(9^x+3^{2x-1}=\frac43\,9^x\), получаем \(\frac43\,9^x-2^{x+3.5}=2^{x+0.5}\), откуда \(\frac43\,9^x=9\cdot2^{x+0.5}\). Следовательно, \(\left(\frac92\right)^x=\frac{27\sqrt2}{4}=\left(\frac92\right)^{3/2}\), поэтому \(x=\frac32\).

Ответ: \(\frac32\).